기대값
7분
위험을 감수할 만한 상황인지 평가하기: 영향력이 보장되는 의사가 될 것인가? 위험을 감수하고 더 큰 영향력을 미치는 과학자가 될 것인가?
기대값 개념을 적용하여 도덕성에 관한 질문에 답하기
확률과 기대값을 올바르게 사용하기
영화관에 가면 코로나에 감염될까? 어떤 직업을 선택해야 더 크게 성공할 수 있을까? 학자 아니면 소프트웨어 엔지니어? 진통제를 먹으면 몸이 나아질까?
이런 생각들은 부루마블에서 주사위를 던져 답을 구할 수 있는 단순한 문제가 아니다. 거의 모든 의사결정에는 실질적으로 계산을 하든 안 하든 필연적으로 확률 의 개념을 내포한다.
나의 선택이 어떤 사건이 벌어질 가능성에만 달린 것은 아니다. 코로나 백신 접종을 해야 하는 이유는 감염 시 입원할 확률이 높기 때문이 아니라 입원 자체가 매우 심각한 일이기 때문이다. 마찬가지로, 교통사고가 발생할 확률이 매우 낮음에도 불구하고 항상 안전벨트를 매고 있는 것이 좋다.
특정 결과로 이어질 확률과 그 결과의 좋고 나쁨의 정도를 모두 고려해야 하는데, 이를 기대값 계산이라고 한다.
사례를 개별적으로 고려할 경우 기대값을 계산하는 공식은 다음과 같이 간단하다.
기대값 = 확률변수 × 값
조건은 이렇다.
앞뒤 무게가 균등한 동전을 던져 앞면이 나오면 15 달러를 따고 뒷면이 나오면 10 달러를 잃는다.
돈을 잃어도 주머니 부담이 없다고 치면 이 내기에 응하겠는가?
A. 응한다. 좋은 조건이다.
B. 응하지 않는다. 좋은 조건이 아니다.
어떤 행동의 기대값 “EV”는 그 행동을 여러 번 반복했을 경우의 평균값이다.
내기를 하지 않는다면 10달러를 잃지 않을 것이다.
내기를 한다면 15달러를 딸 확률이 50 %, 10달러를 잃을 확률이 50 %다.
앞면과 뒷면이 나올 확률이 같기 때문에 10달러를 잃을 50 % 확률보다 15달러를 딸 50 %의 확률이 더 가치가 크다.
이를 수학적으로 정리해보자.
15달러를 딸 확률 50 % + 10달러를 잃을 확률 50 % = 0.5 × 15달러 + 0.5 × (-10달러) = 2.5달러
1년동안 매일 한번씩 이 내기를 한다면 돈을 잃은 금액보다 딴 금액이 클 확률은 1억분의 1이다.
이 경우…
정답: A
내기를 반복할수록 돈을 더 많이 딸 수 있다.
원전 붕괴 사고가 일어날 확률이 사실상 무척 낮을지라도 사고가 날 경우 그 결과는 처참하기 때문에 위험도를 더욱 낮추기 위한 안전책을 마련해둘 필요가 충분히 있다.
원전 안전책 마련의 가치는 다음 두 가지 요인에 달렸다.
사고를 예방할 확률
사고가 났을 경우 그 심각성
이 둘을 떼서 따로 보면 좋은 결정을 내리기 어렵다. 어떤 안전책의 기대값을 증대하기 위한 방법은, (1) 사고 예방률 높이기, (2) 사고 발생 시 그 심각도 줄이기 이렇게 두 가지다.
새로 개발된 코로나 치료제 팍스로비드 승인 여부에 앞서 평가를 진행하는 FDA 직원이 바로 나라고 가정해보자.
팍스로비드는 코로나 고위험군 환자의 입원과 사망을 90 % 방지한다.
치료 효과가 없더라도 아무런 영향이 없을 뿐더러 합병증 발생 확률도 증가하지 않는다.
약제 효과가 있는 경우 환자 평균 건강수명이 1년 가량 연장된다.
A. 0.1년
B. 0.9년
C. 1년
D. 2년
효과가 있을 확률은 90 %이므로 환자의 건강수명은 1년 연장된다.
반대로, 효과가 없을 확률은 10 %다(건강수명 0년 증가).
수명 1년 연장될 확률값 90 % + 수명 0년 단축될 확률값 90 % = (0.9 × 1) + (0.1 × 0) = 0.9년
이 경우…
정답: B
팍스로비드를 복용할 경우 건강 수명 0.9년이 연장된다.
어떤 일이 정말 중요하다면 상황이 불리하더라도 결국 그 일을 추진하기 마련이다.
— 일론 머스크, 기업인, 테슬라와 스페이스X 설립자
손실이 심각하더라도 기대값을 고려해야 한다. 예를 들어 암에 걸릴 확률은 낮지만 혹시 모르니 증상이 있으면 검진을 받는 것이 좋을 수도 있다.
— 레이 달리오. 투자자, 세계에서 가장 큰 헤지 펀드인 브리지워터 설립자
이익 확률에 예상 이익을 곱한 값에서 손실 확률에 예상 손실을 곱한 값을 빼라. 완벽하지는 않지만 바로 이 결과가 우리가 무얼 염두에 두고 하려는지 보여준다.
— 워렌 버펫, 투자자, 버크셔 해더웨이 CEO
인파가 몰린 해변가에 있는 안전요원이라고 생각해보자.갑자기 거대한 파도가 일어고 해변 이용객 1 000명이 먼 바다로 휩쓸려 갔다.
다음 중 한 가지 조치만 취할 시간밖에 없다.
빨리 물 속으로 달려가 아무나 딱 한 사람을 구한다.
단 1 %의 확률로나마 인근에 해양경비대가 순찰 중이라면 모든 사람을 구할 수 있기에 해양경비대에 신고한다.
이 경우…
정답: B
리스크가 있지만 해양경비대로 연락한다면 평균 10배 더 많은 인원을 구할 수 있다.
모든 면이 나올 확률이 동일한 6면 주사위를 던져 5가 나올 확률은 무엇인가? 답은 간단하다. 6분의 1이다.
하지만 이미 5가 나왔다는 결과를 본 후에 같은 질문에 무엇이라 답할까? 거의 100 %라 할테다.
확률이란 확실하지 않더라도 인위적으로 배정한 숫자에 불과할 수 있다. 심지어 대강 짐작해보는 것도 유용할 수 있다.
예를 들어, 새로운 우울증 치료제인 슈페리온 복용 여부를 결정해야 하는 경우를 생각해보자.한 제약회사의 후원으로 실시한 연구에 따르면 슈페리온이 우울증을 99 % 완치했다고 한다. 연구기금의 출처를 아는 이상 결과의 정확도와 진실성을 완전히 신뢰하지 않고 주관적으로 완치율이 20 %에 더 가깝다고 자체적으로 추정할지도 모른다. 이 경우 연구가 주장하는 99 % 성공률보다 스스로 결론 내린 추정치인 20 %를 믿는 것이 더 정확할 수 있다.
이번에는 내가 미국국제개발처(USAID) 직원이고 한정된 예산 안에서 향후 추진할 보건 사업 후보군을 선정하는 업무를 담당하는 경우라면 어떨까.
실제 운영 기관이기도 한 디웜더월드(Deworm The World)라는 자선단체 대표를 만난다.
그는 아동 수백 만명의 장 속에 기생충이 살고 있다고 말한다.
치료 방법은 안전하고 저렴할 뿐만 아니라 효과적이다.
장기적 이점은 잠정적으로 무척 크지만 이와 관련한 논쟁은 존재한다..
어느 실험에 따르면 아동을 대상으로 구충을 실시하면 플라시보 인원 대비 평생 기대 수입을 1,258달러 높일 수 있다고 한다.
구충 효과에 대한 심도 있는 연구를 한 자선단체의 평가기관 기브웰(GiveWell)은 이러한 결과치가 현재의 환경에는 적용되지 않을 수도 있다는 점을 우려한다.
실질적으로는 구충 효과가 연구에서 주장하는 평생 기대 수입의 10 % 수준이 될 것이라 본다.
A. 125.80달러
B. 1,258달러
C. 10 %
이 경우…
정답: A
구충을 할 경우 평생 기대 수입 125.80달러 증가로 이어진다.
친구네 집으로 걸어가는 길에 강도가 길을 막고 10달러만 달라고 한다. 이 날 강도는 하필 총을 집에 두고 왔다.[16]
하지만 강도가 제딴에 기발한 제안을 한다. 지금 10달러를 주면 월요일에 1억 달러를 주겠다고 말하는 것이다.
이 말이 거짓이라는 걸 99.99 % 확신한다고 치자. 그에게 내 지갑을 건네줄 경우 기대값은 무엇일까?
(99.99 % 확률 × 월요일에 0달러 받는다) + 0.01 % 확률로 월요일에 1억 달러 받는다 = (0.9999 × 0달러) + (0.0001 × 1억 달러) = 10 000달러
지금 가지고 있는 10달러보다 1 000배 더 받게 된다.
이는 파스칼의 강도라는 사고실험으로, 철학 분야에서는 이런 상황에 놓였을 경우 가장 이상적인 행동방법은 무엇인지에 대한 논쟁이 뜨겁다.[17] 마찬가지로, 무한대를 다루는데 있어 다양한 철학적 문제가 있다.
기대값을 계산해보면 확률적 요소가 포함된 문제에 대한 답을 얻는데 도움을 받을 수 있다.
기대값을 계산하는 공식은 확률값 × 값이다.
대강의 근사치도 유용할 수 있다. 항상 과학적 근거에 기반한 추정치를 얻을 수는 없다.
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