기대값

작성자 Centre for Effective Altruism
기댓값

영향력의 불확실성

7분

학습 내용

  • 위험을 감수할 만한 상황인지 평가하기: 영향력이 보장되는 의사가 될 것인가? 위험을 감수하고 더 큰 영향력을 미치는 과학자가 될 것인가?

  • 기대값 개념을 적용하여 도덕성에 관한 질문에 답하기

  • 확률과 기대값을 올바르게 사용하기

요약

기대값을 계산하면 답이 명확치 않은 질문을 해결하는 것이 용이해진다.

모든 선택에는 어느 정도 불확실성이 따른다

영화관에 가면 코로나에 감염될까? 어떤 직업을 선택해야 더 크게 성공할 수 있을까? 학자 아니면 소프트웨어 엔지니어? 진통제를 먹으면 몸이 나아질까?

이런 생각들은 부루마블에서 주사위를 던져 답을 구할 수 있는 단순한 문제가 아니다. 거의 모든 의사결정에는 실질적으로 계산을 하든 안 하든 필연적으로 확률 의 개념을 내포한다.

흥미로운 여담: 어떤 선택이든 ‘모 아니면 도’라는 식으로 단정하면 안 되는 이유

1650년 영국 장군 올리버 크롬웰은 스코트랜드 교회 총회로 다음과 같은 서신을 보낸다. “그리스도의 자비로 여러분께 간청합니다. 여러분의 결정이 틀릴 수 있음을 생각해주십시오.” 몇 백 년 후 통계학자 데니스 린들리는 이 개념을 “크롬웰의 법칙”이라고 불렀다.

그렇다면 왜 크롬웰의 법칙을 따라야 할까?

순수 관념이 아닌 현실의 문제를 다룰 때는 증거에 입각한 선택을 해야 한다. 만약 어떤 일이 일어날 확률이0 %라거나 혹은 100 %라고 단언한다면 그 어떤 증거를 내밀어도 생각을 바꾸지 않겠다는 선언을 하는 격이다.

가령 어떤 지역 정치인이 당선될 확률이 0 %라고 말한다면 다음 날 아침 그 후보의 당선 뉴스를 보더라도 음모가 있다고 믿거나 스스로 환각 증세를 의심해야 할 상황과 마주할 것이다. 결국 어떤 일이 일어날 확률이 매우 낮다고 말하는 편이 더 좋겠다.

기대값은 불확실성을 다룰 때 사용하는 도구다

나의 선택이 어떤 사건이 벌어질 가능성에만 달린 것은 아니다. 코로나 백신 접종을 해야 하는 이유는 감염 시 입원할 확률이 높기 때문이 아니라 입원 자체가 매우 심각한 일이기 때문이다. 마찬가지로, 교통사고가 발생할 확률이 매우 낮음에도 불구하고 항상 안전벨트를 매고 있는 것이 좋다.

특정 결과로 이어질 확률과 그 결과의 좋고 나쁨의 정도를 모두 고려해야 하는데, 이를 기대값 계산이라고 한다.

사례를 개별적으로 고려할 경우 기대값을 계산하는 공식은 다음과 같이 간단하다.

기대값 = 확률변수 × 값

내기를 해보자

조건은 이렇다.

앞뒤 무게가 균등한 동전을 던져 앞면이 나오면 15 달러를 따고 뒷면이 나오면 10 달러를 잃는다.

돈을 잃어도 주머니 부담이 없다고 치면 이 내기에 응하겠는가?

A. 응한다. 좋은 조건이다.

B. 응하지 않는다. 좋은 조건이 아니다.

어떤 행동의 기대값 “EV”는 그 행동을 여러 번 반복했을 경우의 평균값이다.

내기를 하지 않는다면 10달러를 잃지 않을 것이다.

내기를 한다면 15달러를 딸 확률이 50 %, 10달러를 잃을 확률이 50 %다.

앞면과 뒷면이 나올 확률이 같기 때문에 10달러를 잃을 50 % 확률보다 15달러를 딸 50 %의 확률이 더 가치가 크다.

이를 수학적으로 정리해보자.

15달러를 딸 확률 50 % + 10달러를 잃을 확률 50 % = 0.5 × 15달러 + 0.5 × (-10달러) = 2.5달러

1년동안 매일 한번씩 이 내기를 한다면 돈을 잃은 금액보다 딴 금액이 클 확률은 1억분의 1이다.

흥미로운 여담: 언제 접어야 할지는 어떻게 알까?

포커 게임을 하는데 이번 판을 이길 확률이 반반인 것 같다면 돈을 얼마나 걸어야 할까? 패가 꽤 좋다 해서 올인을 한다면 만약 질 경우 게임을 더 이상 할 수 없게 될테니 이렇게 되면 기대값이 크게 제한된다.

켈리 공식(Kelly criterion)이란 돈을 걸 기회가 주어졌을 때 얼만큼 걸어야 할지 계산하는 방법이다.

켈리 공식을 이용한다면 추가로 따는 1달러당 느껴지는 행복도가 같다는 가정 하에 내기에 걸 적정 금액을 계산할 수 있다. 대체로 사람들은 1 % 확률로 백만 달러를 따는 것보다 확실하게 만 달러를 따는 쪽을 선호한다. 이 경우, 켈리 공식으로 얻은 값이 기꺼이 내기에 걸겠다 생각되는 금액의 최대액수지만 사람들은 대체로 이보다 훨씬 밑도는 금액만 거는 경향이 있다.

직접 계산하고 싶지 않다면 온라인 켈리 베팅 계산기를 활용해 돈을 얼만큼 걸어야 할지 확인해보자.

이 경우…

정답: A

내기를 반복할수록 돈을 더 많이 딸 수 있다.

원전사고 방지하기

원전 붕괴 사고가 일어날 확률이 사실상 무척 낮을지라도 사고가 날 경우 그 결과는 처참하기 때문에 위험도를 더욱 낮추기 위한 안전책을 마련해둘 필요가 충분히 있다.

원전 안전책 마련의 가치는 다음 두 가지 요인에 달렸다.

  1. 사고를 예방할 확률

  2. 사고가 났을 경우 그 심각성

이 둘을 떼서 따로 보면 좋은 결정을 내리기 어렵다. 어떤 안전책의 기대값을 증대하기 위한 방법은, (1) 사고 예방률 높이기, (2) 사고 발생 시 그 심각도 줄이기 이렇게 두 가지다.

팍스로비드

새로 개발된 코로나 치료제 팍스로비드 승인 여부에 앞서 평가를 진행하는 FDA 직원이 바로 나라고 가정해보자.

팍스로비드는 코로나 고위험군 환자의 입원과 사망을 90 % 방지한다.

치료 효과가 없더라도 아무런 영향이 없을 뿐더러 합병증 발생 확률도 증가하지 않는다.

약제 효과가 있는 경우 환자 평균 건강수명이 1년 가량 연장된다.

그렇다면 팍스로비드 1회 투여량에 따른 건강수명 연수의 기대값은 어떻게 될까?

A. 0.1년

B. 0.9년

C. 1년

D. 2년

효과가 있을 확률은 90 %이므로 환자의 건강수명은 1년 연장된다.

반대로, 효과가 없을 확률은 10 %다(건강수명 0년 증가).

수명 1년 연장될 확률값 90 % + 수명 0년 단축될 확률값 90 % = (0.9 × 1) + (0.1 × 0) = 0.9년

이 경우…

정답: B

팍스로비드를 복용할 경우 건강 수명 0.9년이 연장된다.

다양한 분야의 리더들이 기대값을 사용하고 있다

어떤 일이 정말 중요하다면 상황이 불리하더라도 결국 그 일을 추진하기 마련이다.

— 일론 머스크, 기업인, 테슬라와 스페이스X 설립자

손실이 심각하더라도 기대값을 고려해야 한다. 예를 들어 암에 걸릴 확률은 낮지만 혹시 모르니 증상이 있으면 검진을 받는 것이 좋을 수도 있다.

— 레이 달리오. 투자자, 세계에서 가장 큰 헤지 펀드인 브리지워터 설립자

이익 확률에 예상 이익을 곱한 값에서 손실 확률에 예상 손실을 곱한 값을 빼라. 완벽하지는 않지만 바로 이 결과가 우리가 무얼 염두에 두고 하려는지 보여준다.

— 워렌 버펫, 투자자, 버크셔 해더웨이 CEO

성공이냐 실패냐

인파가 몰린 해변가에 있는 안전요원이라고 생각해보자.갑자기 거대한 파도가 일어고 해변 이용객 1 000명이 먼 바다로 휩쓸려 갔다.

다음 중 한 가지 조치만 취할 시간밖에 없다.

어떤 선택이 가장 큰 기대값을 지닐까?

  1. 빨리 물 속으로 달려가 아무나 딱 한 사람을 구한다.

  2. 단 1 %의 확률로나마 인근에 해양경비대가 순찰 중이라면 모든 사람을 구할 수 있기에 해양경비대에 신고한다.

확실히 1명을 구하거나 1 % 확률로 모두를 구하거나 둘 중 하나다.

선택 1:

100 % × 1명 = 1명

선택 2:

1 % × 1 000명 = 10 명

이번에는 내가 익사할 위험에 처한 1 000명 중 한 사람이라고 상상해보자. 만약 안전요원이 해양경비대에 도움을 요청하는 경우라면 그가 직접 물로 뛰어 뜨는 경우보다 구조될 확률이 10배가 된다.

어떤 선택을 하든 살아남을 확률은 희박하기 때문에 좋은 상황은 아니다. 하지만 굳이 골라야 한다면 더 나은 선택이 분명히 있다.

이 경우…

정답: B

리스크가 있지만 해양경비대로 연락한다면 평균 10배 더 많은 인원을 구할 수 있다.

확률은 주관적이고 허구일 수도 있다

모든 면이 나올 확률이 동일한 6면 주사위를 던져 5가 나올 확률은 무엇인가? 답은 간단하다. 6분의 1이다.

하지만 이미 5가 나왔다는 결과를 본 후에 같은 질문에 무엇이라 답할까? 거의 100 %라 할테다.

확률이란 확실하지 않더라도 인위적으로 배정한 숫자에 불과할 수 있다. 심지어 대강 짐작해보는 것도 유용할 수 있다.

예를 들어, 새로운 우울증 치료제인 슈페리온 복용 여부를 결정해야 하는 경우를 생각해보자.한 제약회사의 후원으로 실시한 연구에 따르면 슈페리온이 우울증을 99 % 완치했다고 한다. 연구기금의 출처를 아는 이상 결과의 정확도와 진실성을 완전히 신뢰하지 않고 주관적으로 완치율이 20 %에 더 가깝다고 자체적으로 추정할지도 모른다. 이 경우 연구가 주장하는 99 % 성공률보다 스스로 결론 내린 추정치인 20 %를 믿는 것이 더 정확할 수 있다.

디웜더월드

이번에는 내가 미국국제개발처(USAID) 직원이고 한정된 예산 안에서 향후 추진할 보건 사업 후보군을 선정하는 업무를 담당하는 경우라면 어떨까.

실제 운영 기관이기도 한 디웜더월드(Deworm The World)라는 자선단체 대표를 만난다.

그는 아동 수백 만명의 장 속에 기생충이 살고 있다고 말한다.

 치료 방법은 안전하고 저렴할 뿐만 아니라 효과적이다.

 장기적 이점은 잠정적으로 무척 크지만 이와 관련한 논쟁은 존재한다..

어느 실험에 따르면 아동을 대상으로 구충을 실시하면 플라시보 인원 대비 평생 기대 수입을 1,258달러 높일 수 있다고 한다.

구충 효과에 대한 심도 있는 연구를 한 자선단체의 평가기관 기브웰(GiveWell)은 이러한 결과치가 현재의 환경에는 적용되지 않을 수도 있다는 점을 우려한다.

실질적으로는 구충 효과가 연구에서 주장하는 평생 기대 수입의 10 % 수준이 될 것이라 본다.

기브웰의 분석이 사실이라면 구충 치료를 받을 경우 평생 기대 수입이 얼만큼 증가할까?

A. 125.80달러

B. 1,258달러

C. 10 %

기대값 공식은 객관적 확률과 주관적 평가를 모두 계산하는데 효과적이다.

구충에 따른 효과에 대한 기브웰의 주관적 평가 수치를 이용한다면 다음과 같다.

10 % × 1,258달러 = 기대 평생수입 125.80달러 증가

이는 미비한 효과처럼 보일 수 있겠지만 치료 비용은 0.50달러에 불과하다.

한 연구에 따르면 ‘구충 사업 투자는 무려 245.9의 사회적 편익비용비로 이어진다.’[15]고 한다.

기브웰의 추정치인 10 %로 조정한다면 사회는 구충에 드는 비용 1달러당 25달러의 이득을 보게 된다. 이는 마치 5달러짜리 밀크쉐이크를 20센트만 주고 사먹는 것과 같다.

이 경우…

정답: A

구충을 할 경우 평생 기대 수입 125.80달러 증가로 이어진다.

기대값은 극단적인 경우를 잘 반영하지 못한다

친구네 집으로 걸어가는 길에 강도가 길을 막고 10달러만 달라고 한다. 이 날 강도는 하필 총을 집에 두고 왔다.[16]

하지만 강도가 제딴에 기발한 제안을 한다. 지금 10달러를 주면 월요일에 1억 달러를 주겠다고 말하는 것이다.

이 말이 거짓이라는 걸 99.99 % 확신한다고 치자. 그에게 내 지갑을 건네줄 경우 기대값은 무엇일까?

(99.99 % 확률 × 월요일에 0달러 받는다) + 0.01 % 확률로 월요일에 1억 달러 받는다 = (0.9999 × 0달러) + (0.0001 × 1억 달러) = 10 000달러

지금 가지고 있는 10달러보다 1 000배 더 받게 된다.

이는 파스칼의 강도라는 사고실험으로, 철학 분야에서는 이런 상황에 놓였을 경우 가장 이상적인 행동방법은 무엇인지에 대한 논쟁이 뜨겁다.[17] 마찬가지로, 무한대를 다루는데 있어 다양한 철학적 문제가 있다.

학습한 내용

  • 기대값을 계산해보면 확률적 요소가 포함된 문제에 대한 답을 얻는데 도움을 받을 수 있다.

  • 기대값을 계산하는 공식은 확률값 × 값이다.

  • 대강의 근사치도 유용할 수 있다. 항상 과학적 근거에 기반한 추정치를 얻을 수는 없다.

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원본 게시물: Centre for Effective Altruism (2022) Expected value, Effective Altruism Forum, 7월월 24일.